關於切蛋糕: 那些大家可能會忽略的問題 @ 譯文大賞

到底要怎麼樣才能切好蛋糕，讓想吃到蛋糕的人都覺得公平、都覺得滿意呢？

除非您正好從事的舉辦婚禮相關的行業，不然在問這個問題前，您應該都沒有想過吧〈編按：切就切了，誰還會想這些，只要蛋糕好吃，大家開心就好了，是吧〉。

或許您不曾想過，抑或是因為您覺得這個問題的答案很簡單，只要在切蛋糕的時候數一下要吃的人然後平均分配就可以了。但您們能確定在分完蛋糕後，每個人真的都很開心嗎，都會覺得公平嗎？

或許有些科學背景的人會想，那頂多是把對於麩質過敏，或是在飲食控制者考慮進去，但這樣的話，每次切蛋糕的方式都不盡相同，那麼到底有沒有一個準則提供給我們呢?

那麼該如何公平地分配蛋糕呢？

就算切的每片大小都是一樣；但如果今天在座有一位數學家突然問你，要怎麼去證明您切蛋糕的方式最公平的呢？那會不會有在場的人懷疑自己吃的蛋糕是比其他人小呢？

相信這時候許多人腦中都陷入了一片空白。摁...到底什麼才是最公平的切法呢？明明平均切就好了，可是又苦於沒有確切的證據，該怎麼辦？

就算提供的證據讓在場的科學家信服, 可能又要一群人跳出來問: 如果碰到不同身分的客人時，該怎麼分配蛋糕才是最妥當的呢？

到目前為止，您有沒有發現我們討論的，不僅僅只有蛋糕，還包含了好多層面了呢？

這種公平分配相關問題的解答，得結合數學、職場政治和經濟學的概念。天哪，那蛋糕就不僅僅只是一個甜點而已了。小小的一塊蛋糕，根本就是一塊肥沃的良田或是一畝風水寶地，一旦分配不好，可能會引發商場派系間的鬥爭，可能會造成分手，甚至會造成第三次世界大戰等等，所以千萬別小看切蛋糕這件事情

其實早在17世紀(對，你沒看錯，中國還是明朝的時候，日本才剛統一，然後歐洲工業革命還沒開始呢)，科學家就開始針對這項議題做了很多研究。所以無論是400年前還是現在，對於這項課題的重視度依舊不減呢。

400年前科學家的煩惱到了今日，隨著時代演進和科技的進步，有越來越多研究者無不磨拳擦掌，想利用現代科技讓大眾知道公平切蛋糕的方法，而且不誇張，他們為了這個還做了很多相關的論文研究。

所以為此煩惱的您，下次只要在切蛋糕前，只要動動手指、搜尋一下，就可以了解要怎麼切得公平、切得皆大歡喜，還可以讓那個討人厭的數學家乖乖閉嘴吃蛋糕。

身為母親的憂愁

聰明如小孩，在很小的時候就知道該怎麼分切蛋糕，這種方法叫做〝我切你選〞，小時候就是這樣跟朋友和親人分享蛋糕的。

但如果您不曾這樣切過，或是拔比麻咪或阿姨沒讓你切過，那可以看看這部影片，補足那些童年的回憶：

其實現實社會中像廣告裡出現的這對小兄弟大有人在，沒什麼特別的。現在小孩子在切蛋糕的方式還不是跟17世紀的小孩一模一樣，根本沒啥長進。早在400多年前，政論家詹姆斯.哈靈頓(James Harrington)就曾經說過：“無論再怎麼優秀的哲學家，在天真無邪的佳人面前爭論是徒勞的”

哈靈頓由此做了延伸：〝例如，在兩個小孩面前，出現了一塊蛋糕，然後這兩個小孩都想吃到蛋糕，兩個人都在想：〝我分到的蛋糕千萬不要比她小呀〞〉，於是其中一個小孩跟另一個小孩說“你切吧，然後我來選，或是我切，然後你來選〞

這種方法的背後並不是大家想得那麼簡單而已(編按：別看小孩那樣小小年紀，他們可聰明得很，就曾經聽過有一位專門分析幼兒的心理學家表示，大人說謊，小朋友都知道)，並不是只有把蛋糕一分為二那樣的單純。小孩其實很聰明，心裡面總有很多的想法(編按：誰要跟你平分呢，哼，你最好說你不吃。)切的人都知道對方一定會想選最大的那塊，所以會把蛋糕切得剛剛好

經濟學者和數學家看到了這種現象，稱之為〝無怨(envy-free)理論〞

無怨就像是字面上所要表達的意思。如果有個香草蛋糕要分給兩個人吃，這兩人都想要同等份的蛋糕，那麼參考一下廣告，問題就好解決-只要把蛋糕平分，不管是選哪一片，因為都一樣大所以沒得抱怨。討厭數學的人看到這裡應該會很開心對吧，所以利用無怨(envy-free)理論來切蛋糕簡直是一片....摁，您知道的。(編按：此處原文所要表達的是 a piece of cake ，指的是這件事情太過簡單，但是作者提到蛋糕這個詞很多次了，相信大家看了會煩，所以就用...來代替，就表示不用說大家也明白或表示這個概念太簡單的意思)

這種〝我切你選〞的方式並不只是可以運用在常人所認為“好”的事情(誘人的蛋糕和花生奶油)上面，也能運用在“壞”的事物。就像是知名的數學家馬丁.加德納(Martin Gardner，一生當中寫過多達50多本數學書籍)曾於1978年用漫畫的方式說明這樣的方式也能運用於工作的分配

千萬不要感到意外，這種我們認為只會出現在小孩間和漫畫裡的情節，其實在爾虞我詐的大人社會裡也常常發生，好比各個公司律師團間的鬥爭也有這樣的現象。

公司內部在經營權分離的談判期間，談判代表通常會利用一種稱為〝德州槍戰(Texas shootout)〞的方式來達到協議，這種方法也被認為是一種〝我切您選〞的商業模式。在這種刀刀見骨的商業談判中，其中一方會公告價格，而另一方有選擇願不願意用該價格買下經營權的權利。

就像詹姆士.F.林(一間企業協商諮詢公司的共同合夥人)就曾對此表示〝發起公司經營權交易的一方一開始先以對方角度來考慮，對方最明智的策略是對此做評估，然後決定買或不買，這樣就可以結束一切的紛爭，將經營權歸於一方。〞

詹姆士對此的了解是源自於他的工作經驗。身為一間資訊工程和資訊服務公司的共同創辦人，希望透由經營權平均分配，來協助漸行漸遠的公司合夥人們達到無怨〈envy-free〉的結果。他和另一位共同創辦人史提芬.布拉姆斯從很多處理過的案件爭發現，兩方要達成協議，就得想出各式各樣類似於〝我切你選〞的方式。

在Nautilus期刊(一個美國的科學期刊)裡有一篇有關公平分攤方法應用的概論，作者艾瑞卡.克拉李奇(Erica Klarreich，一個身兼數學家和記者雙重身分的美國人)在裡面舉了一個很好的例子：在任何有關婚姻或是關係破裂的狀況下，雙方可以使用一種由詹姆士跟布拉姆斯所提出的商業談判模式-所謂〝公平買賣〞的方案能將雙方的關係分得圓滿，分得和平，得需要雙方能同步達成協議才行。

克拉里奇接著表示：〝如果今天一間公司有兩個共有產權人，分別是約翰和珍，但有一天約翰跟珍想要中止這段共有關係，欲獨佔公司經營權，約翰開出11萬美金的價格，而珍提出10萬美金，那麼前者會用10.5萬美金的價格出價買斷。也就是說在過程中，每一個關係人最終都能得到一些東西，不管得到的是金錢還是企業體，都會比雙方原本所提的價碼來得更好。〞意即，兩方能拿到比自己預期好的事物。

除了商場談判外，〝我切您選〞甚至出現在國際海事法裡。早在1970年代，當開發中國家開始考慮，要把海底採礦變成未來的一個主要產業時，它們就想到可以利用這種方式跟有相關技術的企業做談判。簡單來說，海底挖礦的產業如果發現，最有價值的海底正好在開發中國家的領海，而有企業想要在那邊海底挖礦，就必須要向該國買採礦權。在企業開採前，開發中國家也獲得到對方的技術。別意外，聯合國海洋法公約上也出現了類似像〝我切你選〞這種模式的條文。

現在，如果一個企業想在一個國家的領海做海底挖礦，那麼它們首先要做的，就是將它們要開採的地方分成兩部分，領有該片海域的國家先選擇其中一塊，才得以讓企業開採剩下的那一塊。

無怨的缺點

目前文章看起來，無怨〈envy-free〉在任何場合好像都很好用，但是就連小朋友都知道，有的時候〝我切你選〞並不是那麼萬能。

今天要切的不是香草奶油蛋糕，而是像這樣的水果蛋糕，那該怎麼辦？

再回到文章前面提到切蛋糕的問題，想像一下當您面前的蛋糕不再是香草奶油蛋糕(這樣講好了：如果您拿到的是左邊的邊緣塞滿了草莓的蛋糕)，而且每個人都可能有不同的喜好(有的人比較喜歡蛋糕裡面的水果餡勝過蛋糕體，同時也有人偏好蛋糕體)

如果說給一個很喜歡吃草莓的人來切這塊蛋糕，他很可能會橫切蛋糕，盡量讓蛋糕裡的草莓平均分配，但這樣切過的蛋糕本身的大小可能會不一樣。也就是說雖然這能確保他得到自己想要的，但並沒有把其他人的想法考慮進去。

換個角度想：如果這塊蛋糕給喜愛吃蛋糕的人來切，他們可能會把草莓擺在一邊再切，那麼切的方式就又跟愛吃草莓的人又不一樣了。

雖然這些切法都符合無怨(envy-free)的原理-沒有任何人想要把自己得到的東西跟別人換，因為對於每個能分到蛋糕的人來說，感覺上拿到的都不比對方差。只是您有沒有發現，要公平的切蛋糕，好像沒有像解數學題目一樣有個標準答案，但是真的是這樣嗎? 至少凡事求標準答案的科學家不能接受這樣的結果。

如果還是按無怨的法則做分配，還是會有人不滿意。(編按：就像每次選舉結束，還是有人沒辦法接受事實)經濟學家認為這種現象是〝無效益〞的原因在於，在這樣的原則下無論是何種分法，都得損失多數人的利益。那麼要改善這樣的情況，還得犧牲自己的部分利益，像是喜歡草莓的人得用原本屬於自己的那塊蛋糕切下一部分來換更多的草莓才行。

這就好比近年來常見的勞資談判: 學者認為勞資談判並不是利益均分，而是雙方都能在談判後拿到自己想要的東西，但前提是，都需要損失一部份原先屬於自己的利益，才能換取更大的利益。(編按：你需要花時間工作才能夠拿到薪水，才能夠用薪水過生活)

那麼到底要該怎麼切蛋糕呢？

我們來看看一個案例〈這個案例是源自於Claus-Jochen Haake和Francis Su的論文，只是在這裡我們用比較淺顯易懂的方法來說明〉：如果說，喜歡草莓的人在切蛋糕時，只是把草莓餡取出來，也就是說，一份是填滿草莓但是比較小塊的蛋糕; 而另一份則是比較大塊但是完全不含草莓的蛋糕〈也就是說，雖然有人吃到的那片蛋糕裡沒有草莓，但是他還是可以吃下比較大塊的蛋糕。〉

這樣的話，對方會選擇比較大的那一塊機率就很高了，而切的那一位就能吃到他想要的-草莓很多的那一份。

這樣看來，結果對任何一方都是好的，這種蛋糕的切法並不會損害到沒有切蛋糕的人的權益。此外這也不正是符合〝無怨〞的原理嗎-沒有任何一方會想要把自己得到的換出去，也不會有不滿意的人了。

但是人的心理就像大腦一樣，是很複雜的。上面的理論是不太可能完全套用在如此複雜的人類行為上。雖說以科學角度來看，的確能達到〝無怨〞; 但是它的結果，不太可能完全符合我們每個人對於〝公平〞這個字眼的認知。而且再回到前面的例子：喜歡草莓的人只是將蛋糕切成他認為所謂公平的樣子，但是對於有些得到大塊蛋糕的人來說，難免會有拿到太比對方還要多的罪惡感，而覺得不好意思，這樣，在心情上就不能達到雙方都一致，也就是同樣滿意的結果。

在座有幾個人要吃蛋糕呢？

如何才達到同時有無怨(envy-freeness)、平均分配(equitability)又同時具有效益(efficiency)的分配方法呢？這樣的問題其實已經困擾著科學家數十年之久。您想喔，假設今天手邊有蛋糕，光是要考量前面所提到的事情就已經覺得很難了，更何況還要考慮更多層面的問題，像是到底要請多少人來吃，這就比前面提到的，只有兩人分配的問題來得更加地複雜。

雨果.史丹哈斯(Hugo Steinhaus, 波蘭數學家)是目前已知第一位研究這個問題的人。早在1940年代，當他思索著如果不是兩人，而是三個人要〝我切你選〞的時候該怎麼辦，他突然靈機一動，想出了一種方法，叫做〝唯一分配者方法(the lone divider method)〞

這種方法並不像字面上看起來那樣的文言文，簡單來說今天有三個人同時想吃同一塊蛋糕，那麼這三個人當中，要先挑出一人做〝唯一分配者〞，也就是說只有他才能切蛋糕。那麼在〝我切你選〞的模式下，我們已經知道唯一分配者在切的時候，並不知道自己最後會拿到哪一塊，所以按理來說，他會試著把蛋糕分成他自己認為的三等份。

在切完蛋糕後，這位切蛋糕的人會問剩下的兩個人要吃哪一塊，如果他們選的不是同一塊，那麼蛋糕就分完了，每個人都能拿到自己選的那一份蛋糕。

但如果說，這兩個人挑上的是同一塊蛋糕，那麼就得把沒挑到的那兩塊合併在一起，給那個切的人〈唯一分配者〉吃。那麼我們會有一片較小的蛋糕、兩個還沒吃到蛋糕的可憐蟲，還有〝我切你選〞得再重複進行，直到最後這兩個人挑的是不同塊的蛋糕。

史丹哈斯的唯一分配者方法，看起來是很簡單，而且可以運用在多人的情況，但是這方法不可能都是完美的。那麼如果要有更好的答案，就需要帶入更複雜的數學概念。

那三角形的蛋糕...呢?

在1990年的晚期，法蘭西斯.蘇(Francis Su, 美裔數學家)在哈佛大學展開了他的數學博士學位生涯時，他的朋友同時也是博士候選人的布萊德曼恩(Brad Mann)，就問他很多看似生活上經常發生、卻不曾有人花時間注意的事情。

曼恩就像是許多生活拮据的學生一樣，分租在一間相當狹小的家庭式套房裡。有分租過的人一定都知道，每一間的租金該收多少，還有哪個人可以選擇哪一間，都是許多人分租時得考慮的事情。當曼恩碰到了這樣的問題，他就跑去找他的朋友-蘇，然後就問他該怎麼樣才能把這件事情處理好，讓住的人都滿意。

我們大多數的人碰到這種情況，多半都會借鑑過往的經驗(像是抽籤或是平均分配租金或是住在需要上樓的房間可以有比較大的櫥櫃)，但是蘇並不是這樣想的(難怪現今能身兼哈佛教授和美國數學協會主席雙重身分)。

〝當我跟他講這件事情的時候，蘇就跟我說，這百分百就跟數學有關〞蘇認為這根本就是一個公平分配問題(fair division question)。

雖然曼恩最後並沒有採納這項建議，但蘇為此深入研究，並為它撰寫了一篇論文，在論文裡，他提出了能讓所有分租人都能夠無怨的方案以及背後的相關證明。(編按：這個蛋糕有什麼關係呢？)

房間分配問題就像是長久以來科學家無解的切蛋糕問題，但是茫茫人海裡，為何只有蘇能夠找到答案，原因是他利用了在1920年代所發表的Sperner 引理(Sperner's Lemma，在三角形三個邊上隨意加上幾個點，然後各邊只能標1到3其中兩個數字，接著在三角形內也任意標上1到3的任一個數字，會發現無論數字怎麼排，都會出現123為頂點的三角形)。

目前看來，Sperner 引理只是單純的數學理論，應該跟租金和蛋糕是毫無關係的，他也應該只是跟三角形有關而已，對吧？

圖片來源：Francis Edward Su

在解釋之前，先簡單說明Sperner引理吧：

想像你面前有個大三角形，就像是圖片裡的那樣。你先在三角形上的每一邊都標上幾個點，然後在每個點上標上數字，然後只能標1到3。

接著在三角形裡重複同樣的動作，然後您會發現不管裡面放多少點、標了什麼數字，都會至少有一個三角形，它的三個頂點的數字是不一樣的。

接下來你會發現-任何一個在大三角形的點上需要去和其中一個尾端底部的兩點去分享數字。例如，三角形底部的數字只能夠是1跟2是因為它們坐落在較大三角形標有1跟2頂點之間。同樣的，三角形的右邊只有標1跟3的點，而右邊也只有標2跟3的點。

從這樣的操作過程中，如果都有符合上述的條件，那麼至少會有一個三角形的頂點有不同的數字，就像是上面的圖中，有三個這樣的小三角形。

那麼跟租金有什麼關係呢？

在蘇發表的那篇論文中，蘇將這個三角形想成是三間房間價格的任意組合。例如，三角形最上面的頂點可能代表的，是其中一間房間的價格等於分租總價(此房間稱做房間A)而其他兩間無須分攤費用(房間B跟C)。同樣道理，在大三角形的左下角可能代表的，是B房間負擔所有的分租費用，而右下角則是房間C。然後在大三角形內標上各種分租價格，也自然就有了各式各樣的分租方案。

在論文裡，蘇每個頂點上除了標上價格外，另外也標上房間的類型。

然後接著再詢問分租的人以下的問題：〝如果租金根據這種價格方案來分配，那麼您會選擇哪一間房間？〞根據室友的回答，三角形上的點會標上指定的三個數字(1、2或3對應到選擇的房間)。然後接著就能夠結合房間與價格這兩項因素不斷地問問題，從裡面找出三人都滿意的答案。

這樣的過程會持續到出現一種三人都滿意的方案才結束，也就是說它結合了Sperner引理-三角形內任一三角形頂點上的數字是不一樣的，也能確保任何一間房間不會重複被選到，所以在分租上，會有皆大歡喜的結果。

我們先不看那些複雜的實驗數據，單看實驗結果就知道為什麼這篇論文會那麼有名。就連紐約時報在2014年時都利用蘇的這個演算法，研發分租計算機呢。

融入分配問題的app

前面提到，赫赫有名的紐約時報利用了蘇的論文來研發分租計算機，但蘇提出的理論並不是唯一可以解決公平分配問題的方式。

與蘇發表論文的年份相同，卡內基梅隆大學的電腦工程師研發一種稱為Spliddit的房租分攤程式。不過蘇的演算法是需要反覆演算才能得出答案，而且使用這套演算法也只能符合無怨的原理，還是不能讓所有人都滿意。另一方面，Spliddit這個房租分攤計算機的目標，除了要讓房租分配得宜外，也能夠讓使用者更方便的使用。

要達到這樣的目標前，需要不停的嘗試(trial and error)。雖說這個團隊早在2004年研發出了一套類似房租分配的演算法，也能達到無怨的效果，但是因為使用起來不是那麼的方便，所以並沒有很多人來使用。

〝理論上，利用這套演算法所得出的結果可以讓所有人都能滿意，但是實際上並不是真的都能讓所有人都接受。〞其中一位參與這項研究計畫的教授艾瑞兒普羅卡恰〈Ariel Procaccia〉說。

他用一個極端的例子來說明：想像一下現在有一個附有三個套房的公寓要分配給三個室友，它的總租金為3塊美金。

三位住戶想要挑的房間都是不一樣的，而每個室友只要能租到自己想要的房間，都願意承擔全部的租金。

其中一種可能的分配方式是，每個人都住他們想要的房間，然後住在其中一間的室友分擔所有租金，那麼租到另外兩間的室友的好處是比較多的，但是沒理由有人會在要負擔所有費用下來租房呀。拜託，這個人得付那三塊的租金，但他跟其他兩個人一樣都對於租其他房間完全沒有任何的興趣，而且您想，這在現實生活中不可能發生呀。

我們再回過頭看看前面的蛋糕分配問題，這種情形跟喜愛草莓的人拿到放滿水果的蛋糕是差不多的：確實平分了，但一定有人拿到比其他人還要更好的。

〝的確，這符合無怨，但是這絕對不公平。〞普羅卡恰表示〝最公平的方法莫過於每個人挑到它們想要的房間，然後租金能平均分配。〞

能同時兼顧無怨跟公平這兩點，大概就是Spliddit研發團隊的目標吧。為此，研發團隊首先先試著把每個可能性都考慮進去，包括房客付房租的意願以及他〈她〉最多可以付房租的價格。這樣的方法就可以把所有租房的可能方案都考慮進去，而且能確保所有房客選的房間的〝獲益〞比其他間來得好。這不也正好符合了無怨的特性了嗎。

但是除了無怨，是否有兼顧到表面上的公平性呢？為此，Splidit找到了可以將每位房客個別的獲益差距降至最低的最佳解。

簡單來說，這種演算法能保證每位房客都能拿到最好的租約，但並沒有任何人能從中獲得到比其他人來得好太多的租約。

除了可運用在分租外，Spliddit也能運用在計程車的車資計算、人力、任務及雜物的分配。與此同時，研究團隊也在盡力研發一種稱為RoboVote的app，這個app可以利用個人的偏好來做排序，來幫助人們做最佳選擇。普羅卡恰表示，在今年九月會正式發表這款app在自己的網站上，所以之後跟人吃飯就不用再為吃什麼而不開心。

發明這些東西的確對我們來說是一大福音，就好像老闆突然主動跟你說要加薪，又好比今天你的曖昧對象突然主動跟妳告白的那種感覺，但是普羅卡恰不僅僅只是滿足於此，他把眼光放得更遠。他想要解決許多人們在做決策時所面臨到的問題，就像是〝我切你選〞的模式已經被用來解決很多商業上的問題，他希望有一天，只要使用電腦，就能解決更多更複雜，或是類似在談判上會面臨到的問題。

如果您了解它為什麼會有這樣的想法，就得從他的出生地-以色列開始講起

〝如果像以阿衝突這樣的困境能夠被電腦的演算而能順利解決，那麼就是一件相當美好的事情〞他表示〝雖然要讓雙方和平，還需要很長的一段路要走，但我相信，這一切的衝突都會結束。〞

我跟他說: 好啦，這個好像競選廣告喔，那能不能用另一種方式解釋呢。